分散とは？分散の公式と求め方を解説！標準偏差や共分散との違いは？

2025年10月16日

入力した値の分散を算出します。
値をカンマ（,）で区切って入力後に算出ボタンクリックしてください。

分散は「平均からの差」の二乗平均を指すので、
データ数:n、各データ値:xi、平均:μとしたとき、
公式：s²=1nΣ(xi – μ)²より

入力データ数(n)：

分散(s²)：

高校生

計算に困っていたので助かりました！

今回はデータの分散に関する悩みを解説します。

「分散ってなんだっけ？」
「分散の求め方が分からない」

高校生

分散の求め方がよく分からなくて…

分散に苦手意識を持つ学生はかなり多いですよね。

分散はデータの散らばりを表す指標の1つです。分散の値からデータの分布がイメージできます。

分散は偏差（データと平均値の差）を二乗したものの平均で求めることができます。

変数$x$の値が$x_1,x_2,…,x_n$で、平均が$\bar{x}$のとき分散$s^{2}$は、

\begin{eqnarray}
s^{2}&=&\displaystyle \frac{1}{n}{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}
\end{eqnarray}

分散が大きいとデータの分布が広く、分散が小さいと同じようなデータが多いことが分かります。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

$分散の意味$

[/st-mybox]

データの分散は定期テストや共通テストでよく出題されます。

本記事では、分散の公式と分散の求め方について解説しています。

分散とは？

分散とはデータの散らばりの度合いを表す指標です。

分散の大小によってデータ全体の分布をイメージすることができます。

[st-mybox title=”分散の大小” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

分散が大きい⇒平均値から離れている値が多い
分散が小さい⇒平均値に近い値が多い

[/st-mybox]

分散が大きいというのは、散らばりの度合いが大きいことを表します。

分散が分かるとデータ全体の分布がイメージしやすくなります。そのため分散はいろいろな研究で用いられる指標になっています。

分散の公式

分散を求める公式は2つあります。

分散の公式①

偏差（データと平均値の差）を二乗した平均が分散です。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#f3f3f3″ borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

変数$x$の値が$x_1,x_2,…,x_n$で、平均が$\bar{x}$のとき
分散$s^{2}$は、
$\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}\}$
$=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}$
[/st-mybox]

分散の公式②

分散は「2乗の平均」と「平均の2乗」の差でも求めることができます。

変数$x$の値を$x_1,x_2,…,x_n$、平均を$\bar{x}$とするとき
分散$s^{2}$は、
$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$

[/st-mybox]

高校生

公式が複雑で覚えられません

シータ

そんな方に向けて公式プリントを作ったよ！

分散の求め方

分散の公式を2つ紹介しました。

[st-mybox title=”分散の公式①” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

[st-mybox title=”分散の公式②” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

変数$x$の値を$x_1,x_2,…,x_n$、平均を$\bar{x}$とするとき
分散$s^{2}$は、
$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$
[/st-mybox]

それぞれの公式を用いて分散を求める手順を解説します。

公式①で求める

[st-minihukidashi fontawesome=”” fontsize=”80″ fontweight=”” bgcolor=”#66BB6A” color=”#fff” margin=”0 0 0 -8px”]分散を求め方①[/st-minihukidashi]

[st-cmemo fontawesome=”fa-hand-o-right” iconcolor=”#66BB6A” bgcolor=”#E8F5E9″ color=”#000000″ iconsize=”200″]

平均値を求める
偏差（データと平均の差）を求める
偏差の二乗平均を求める

[/st-cmemo]

Aクラスのテスト結果の分散を求めましょう。

[st-mybox title=”Aクラスのテスト結果” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

30　40　50　80　100　（点）

[/st-mybox]

1.平均値を求める

まずは平均点$\bar{x}$を求めます。

$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{6}(30+40+50+80+100)$

$=60$

2.偏差を求める

偏差とは、データの値と平均の差を指します。

[st-mybox title=”偏差を求める” fontawesome=”fa-file-text-o” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]データ値-平均値=偏差
$30-60=-30$
$40-60=-20$
$50-60=-10$
$80-60=20$
$100-60=40$

[/st-mybox]

[st-cmemo fontawesome=”fa-external-link” iconcolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#fafafa” color=”#757575″ bordercolor=”” borderwidth=”” iconsize=””]偏差については「偏差値の意味と求め方」にて詳しく解説しています。[/st-cmemo]

3.偏差の二乗平均を求める

最後に偏差の二乗平均を求めます。

$\displaystyle \frac{1}{5}\{(-30)^{2}+(-20)^{2}+(-10)^{2}+20^{2}+40^{2}\}$

$=680$

したがって、分散は680です。

公式②で求める

変数$x$の値を$x_1,x_2,…,x_n$、平均を$\bar{x}$とするとき
分散$s^{2}$は、
$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$
[/st-mybox]

[st-minihukidashi fontawesome=”” fontsize=”80″ fontweight=”” bgcolor=”#66BB6A” color=”#fff” margin=”0 0 0 -8px”]分散を求め方②[/st-minihukidashi]

[st-cmemo fontawesome=”fa-hand-o-right” iconcolor=”#66BB6A” bgcolor=”#E8F5E9″ color=”#000000″ iconsize=”200″]

データの2乗平均を求める
平均値の2乗を求める
分散を求める

[/st-cmemo]

先程の分散をこちらの方法でも計算してみます。

30　40　50　80　100　（点）

[/st-mybox]

1.データの2乗平均を求める

まずはデータの2乗の平均を求めます。

テストの点数は30,40,50,80,100なので、

$\displaystyle \frac{30^{2}+40^{2}+50^{2}+80^{2}+100^{2}}{5}$

$=\displaystyle \frac{900+1600+2500+6400+10000}{5}$

$=\displaystyle \frac{21400}{5}$

$=4280$

これで2乗の平均は4280だと分かりました。

2.平均値の2乗を求める

つぎにテストの平均点の2乗を求めます。

Aクラスの平均点は60点なので、

$60^{2}=3600$

3.分散を求める

変数$x$の値を$x_1,x_2,…,x_n$、平均を$\bar{x}$とするとき
分散$s^{2}$は、

$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$

[/st-mybox]

分散$s^{2}$={2乗の平均}-{平均の2乗}

$=4280-3600$

$=680$

したがって、分散は680だと分かりました。

これは分散の公式①で求めた分散と同じになりました。

[st-minihukidashi fontawesome=”fa-exclamation-circle” fontsize=”90″ fontweight=”bold” bgcolor=”#ef5350″ color=”#fff” margin=”0 0 0 0″]ココに注意[/st-minihukidashi]

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#ffebee” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=””]

分散を求めるときは、与えられている情報を参考にどちらの公式を使うか判断してください。

[/st-mybox]

マストラ高校数学まとめサイト

【数学Ⅰ】データの分析重要公式まとめ《完全攻略》 | マストラ高校数学まとめサイト数学Ⅰの最後に学習するのが『データの分析』ですね。 [st-mybox title=”今回解決する悩み” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC”

分散の公式の証明

分散の公式について証明します。

公式①は分散の定義なので、そういうものだと理解してください

ここでは分散の公式②について証明していきます。

変数$x$の値を$x_1,x_2,…,x_n$、平均を$\bar{x}$とするとき
分散$s^{2}$は、
$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$
[/st-mybox]

$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_{i}-\bar{x})^{2}$

$\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_{i}^{2}-2x_{i} \bar{x} +\bar{x}^{2})$

$\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2 \bar{x} \underbrace{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}}_{=\bar{x}}+\frac{1}{n} \cdot n \bar{x}^{2}$

$\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2 \bar{x}^{2}+\bar{x}^{2}$

$\displaystyle =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}$

分散と標準偏差

分散の正の平方根を標準偏差といいます。

標準偏差が分かるとデータが分布する範囲が分かります。

なぜならば、標準偏差はほとんどのデータが「平均値±標準偏差」の範囲に収まっていることを表すからです。

[st-mybox title=”参考” fontawesome=”fa-file-text-o” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

テストの結果が平均点60点、標準偏差20点のとき

テスト結果のほとんどが40点から80点のあいだに収まっていることを表します。

[/st-mybox]

共分散との違い

分散と似た言葉で共分散というものがあります。
$\displaystyle s_{x y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$

分散が１つのデータの散らばりを表すのに対して、共分散は「2組の対応するデータの間にある関係」を表します。

シータ

１つのデータで求められるのが分散です。それぞれの意味を覚えておきましょう。

共分散については「共分散の意味と求め方」で詳しく解説しています。

[st-card myclass=”” id=”3241″ label=”共分散” pc_height=”” name=”” bgcolor=”” color=”” fontawesome=”” readmore=”on” thumbnail=”on” type=””]

分散《練習問題》

ここまで分散の公式や求め方について解説してきました。

最後に分散を使った練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題Cクラスの国語のテスト結果の分散を求めよ。

テスト結果　40,50,60,60,90

分散の求め方①

平均値を求める
偏差（データと平均の差）を求める
偏差の二乗平均を求める

$\displaystyle \frac{1}{5}(40+50+60+60+90)$

$=60$

Cクラスの平均点は60点です。

それぞれの偏差を求めます。
$40-60=-20$
$50-60=-10$
$60-60=0$
$60-60=0$
$90-60=30$

最後に偏差を2乗して分散を求めます。

$\displaystyle \frac{1}{5}\{(-20)^{2}+(-10)^{2}+0+0+30^{2}\}$

$=280$

したがって、求める分散は280である。

分散の求め方②

データの2乗平均を求める
平均値の2乗を求める
分散を求める

2乗の平均を求めます。

$\displaystyle \frac{40^{2}+50^{2}+60^{2}+60^{2}+90^{2}}{5}$

$=\displaystyle \frac{19400}{5}$

$=3880$

次に平均の2乗を求めます。

Cクラスの平均点は60点なので、

$60^{2}=3600$

分散$s^{2}=3880-3600=280$

したがって、求める分散は280である。

どちらも同じ数字になったので間違いはなさそうです。

データの分散　まとめ

今回はデータの分散についてまとめました。

公式は複雑ですが慣れればスムーズに求めることができます。

[st-minihukidashi fontawesome=”fa-file-text-o” fontsize=”90″ fontweight=”bold” bgcolor=”#FFC107″ color=”#fff” margin=”0 0 0 0″]データの分散　まとめ[/st-minihukidashi]

分散はデータの散らばりを表す指標で、分散の値からデータ全体の分布がイメージできる。

[st-mybox title=”分散の公式” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

変数$x$の値が$x_1,x_2,…,x_n$で、平均が$\bar{x}$のとき
分散$s^{2}$は、

$\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+…+(x_{n}-\bar{x})^{2}\}$
$=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}$

もしくは

$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}$

[/st-mybox]

分散が大きい⇒平均値から離れている値が多い
分散が小さい⇒平均値に近い値が多い

[/st-mybox]

分散が求められると標準偏差や相関係数を求めることができます。

標準偏差や相関係数もテストで出題されるので確認しておきましょう。

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[st-card myclass=”” id=”3265″ label=”” pc_height=”” name=”” bgcolor=”” color=”” fontawesome=”” readmore=”on” thumbnail=”on” type=””]

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この記事を書いた人

ゆうや

当サイトの運営者。
指導歴8年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで300名以上を指導。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。詳しいプロフィール

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