[st-mybox title=”今回解決する悩み” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”4″ borderradius=8″ titleweight=”bold” fontsize=”110″ myclass=”nayami-box” margin=”40px auto 30px”]
「ベクトルの垂直ってなに？」
「垂直なベクトルはどうやって求めるの？」
[/st-mybox]
今回は数学Bのベクトルから「ベクトルの垂直条件」に関するこんな悩みを解決します。
高校生ベクトルを習い始めたばかりで…
2つのベクトルが垂直のとき、以下の式が成り立ちます。
[st-mybox title=”ベクトルの垂直条件” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#FFD54F” bordercolor=”#FFD54F” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)があります。
2つのベクトルが垂直な関係にあるとき、内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)となり、以下の式が成り立つ。
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})、\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)のとき、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \bot \vec{b} &\Leftrightarrow& \vec{a} \cdot \vec{b}=0\\
&\Leftrightarrow& x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0
\end{eqnarray}
[/st-mybox]
「垂直だったら内積0」として覚えておきましょう！
今回はベクトルの垂直条件について詳しく解説していきます。
内積との関係や、練習問題を使いながら分かりやすく説明していきますので、苦手意識を持っている方も、ぜひ最後まで読んでみてくださいね！
シータベクトルが苦手な方は
ぜひ最後までご覧ください。
それではベクトルの垂直条件について解説していきましょう。
[st_af id=”13737″]
ベクトルの垂直条件
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)があります。
2つのベクトルが垂直な関係にあるとき、内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)となります。
[st-mybox title=”ベクトルの垂直条件” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})、\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)のとき、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \bot \vec{b} &\Leftrightarrow& \vec{a} \cdot \vec{b}=0\\
&\Leftrightarrow& x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0
\end{eqnarray}
[/st-mybox]
[st-mybox title=”参考” fontawesome=”fa-file-text-o” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class shadow” margin=”25px 0 15px 0″]
ベクトルの内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)については別の記事で解説しています。
[st-card myclass=”” id=”14553″ label=”” pc_height=”” name=”” bgcolor=”” color=”” fontawesome=”” readmore=”on” thumbnail=”on” type=””]
[/st-mybox]
垂直条件の証明
先ほど紹介した垂直条件について、証明していきます。
ベクトルの垂直条件は以下でした。
[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})、\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)のとき、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \bot \vec{b} &\Leftrightarrow& \vec{a} \cdot \vec{b}=0…①\\
&\Leftrightarrow& x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0…②
\end{eqnarray}
[/st-mybox]
まず、\(\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)…①を証明していきます。
[st-slidebox fontawesome=”” text=”+ ①の証明” bgcolor=”#f1f1f1″ color=”#1a1a1a” margin_bottom=”20″]
\(\vec{a}\bot\vec{b}\)であるということは、2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)がなす角\(\theta\)は\(90^{\circ}\)である。
このとき、\(\cos 90^{\circ}=0\)であるから、内積の定義から
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&|\vec{a}||\vec{b}|\cos 90^{\circ}\\
&=&|\vec{a}||\vec{b}|\times0\\
&=&0
\end{eqnarray}
次に\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \rightarrow \vec{a}\bot\vec{b}\)を証明します。
\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)であるということは、内積の定義より、
\[\vec{a} \cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|cos\theta=0\]
いま、\(\vec{a}\neq0,\ \vec{b}\neq0\)であるから、\(\cos\theta=0\)
よって、\(\theta=90^{\circ}\)となり、2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)が垂直に交わると言える。
以上から、\(\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)
[/st-slidebox]
次に、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)…②の証明については、内積の定義で簡単に説明がつきます。
[st-slidebox fontawesome=”” text=”+ ②の証明” bgcolor=”#f1f1f1″ color=”#1a1a1a” margin_bottom=”20″]
\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\rightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)から証明します。
内積の定義より、
\[\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]
よって、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)であるとき、\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)
次に\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\rightarrow\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)を証明します。
こちらも内積の定義より、
\[\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]
今、\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)であるから、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)
以上から、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\Leftrightarrow\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)
[/st-slidebox]
aベクトルに垂直な単位ベクトル
ここからは垂直な単位ベクトルについて解説します。
よく出題される問題で「あるベクトルに垂直な単位ベクトルを求めなさい。」という問題があるので必ず押さえておきましょう。
まずは、単位ベクトルについて復習しましょう。
単位ベクトルとは、下図のような大きさが1のベクトルです。
単位ベクトルの定義をおさえながら、例題を見ていきます。
[st-mybox title=”単位ベクトルの例題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
\(\vec{a}=(2,1)\)と垂直な単位ベクトル\(\vec{t}=(x,y)\)を求めましょう。
[/st-mybox]
単位ベクトルですので、\(|\vec{t}|=1\)であることから、
\[x^{2}+y^{2}=1\]
[st-mybox title=”参考” fontawesome=”fa-file-text-o” color=”#757575″ bordercolor=”#dcdcdc” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”1″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
\(\vec{t}=(x,y)\)のとき
\[|\vec{t}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
[/st-mybox]
また、\(\vec{t}\)が\(\vec{a}\)と垂直であるとき、2つのベクトルの内積は0になります。
よって、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{t}&=&0\\
\left(2,1\right) \cdot \left(x,y\right)&=&0\\
2x+y&=&0\\
y&=&-2x
\end{eqnarray}
先ほどの、\(x^{2}+y^{2}=1\)を使って、
\begin{eqnarray}
x^{2}+{(-2x)}^{2}&=&1\\
5x^{2}&=&1\\
\displaystyle x^{2}=\frac{1}{5}\\
\displaystyle x&=&\pm \frac{1}{\sqrt5}\\
\displaystyle x&=&\pm \frac{\sqrt5}{5}
\end{eqnarray}
したがって、求める単位ベクトルは、
\(\displaystyle \vec{t}=(\frac{\sqrt5}{5},-\frac{2\sqrt5}{5}),(-\frac{\sqrt5}{5},\frac{2\sqrt5}{5})\)
となる。
1つのベクトルに対して垂直なベクトルは2つありますので、両方とも答えになります。
高校生この問題を解くのに色々な公式を使いましたね
シータこの問題1つでベクトルの理解が深まるね！
垂直条件を用いた練習問題
ここからは、垂直条件を絡めたベクトルの練習問題を紹介していきます。
丁寧に解説していきますので、ぜひ一緒に解いてみましょう。
練習問題①
[st-mybox title=”練習問題①” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
\(\vec{a}=(2,-1),\vec{b}=(5,k)\)とする。
このとき、\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直となるような\(k\)の値を求めよう。
[/st-mybox]
解答をチェックする
\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直であるから、垂直条件より、2つのベクトルの内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)の値は0となる。
内積の定義より、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&0\\
2\times5+\left(-1\right)\times k&=&0\\
10-k&=&0\\
k&=&10
\end{eqnarray}
したがって、\(k=10\)
練習問題②
[st-mybox title=”練習問題①” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
\(\vec{a}=(k,1),\vec{b}=(k,k-6)\)とする。
\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直であり、\(|\vec{a}|=\sqrt{10}\)となるような、\(k\)の値を求めよう。
[/st-mybox]
[st-slidebox fontawesome=”fa-check” text=”解答をチェックする” bgcolor=”#f1f1f1″ color=”#1a1a1a” margin_bottom=”20″]
まず、\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直であるから、垂直条件よりベクトルの内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)は0となる。
2つのベクトルの内積は、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&0\\
k\times k+1\times(k-6)&=&0\\
k^{2}+k-6&=&0\\
(k-2)(k+3)&=&0\\
k&=&2,-3
\end{eqnarray}
よって、\(k=2,-3\)
(ⅰ) k=2のとき
\(\vec{a}=(2,1)\)なので、
\[|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\]
(ⅰ)k=-3のとき
\(\vec{a}=(-3,1)\)なので、
\[|\vec{a}|=\sqrt{{(-3)}^2+1^2}=\sqrt{10}\]
今回の問題の条件から\(|\vec{a}|=\sqrt{10}\)であるから、\(k=-3\)
[/st-slidebox]
高校生コツを掴んできた気がします！
ベクトルの平行条件
垂直条件にあわせて、ベクトルの平行条件も知っておきましょう。
[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#f3f3f3″ borderwidth=”0″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}=(x_{1},y_{1}),\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)があるとき、
\[\vec{a}//\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}=k\vec{a}\]
となる実数kがある。
また、
\[\vec{a}//\vec{b} \Leftrightarrow x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0\]
[/st-mybox]
別記事では、この平行条件について詳しく解説していますので、ぜひチェックしてみてください。
ベクトルの垂直条件 まとめ
今回はベクトルの垂直条件について学習しました。
[st-minihukidashi fontawesome=”” fontsize=”” fontweight=”” bgcolor=”#FFB74D” color=”#fff” margin=”0 0 20px 0″ radius=”” position=”” myclass=”” add_boxstyle=””]まとめ[/st-minihukidashi]
[st-mybox title=”ベクトルの垂直条件” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#FFD54F” bordercolor=”#FFD54F” bgcolor=”#FFFDE7″ borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)があります。
2つのベクトルが垂直な関係にあるとき、内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)となり、以下の式が成り立つ。
0ではない2つのベクトル\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})、\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)のとき、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \bot \vec{b} &\Leftrightarrow& \vec{a} \cdot \vec{b}=0\\
&\Leftrightarrow& x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0
\end{eqnarray}
[/st-mybox]
ベクトルの垂直条件でも内積は欠かせないので「ベクトルの内積」についてもしっかりと理解しておく必要があります。
ベクトルの内積はこちらの記事で詳しく解説しています。
[st-card myclass=”” id=”14675″ label=”” pc_height=”” name=”” bgcolor=”” color=”” fontawesome=”” readmore=”on” thumbnail=”on” type=””]
[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]
[/st-mybox]
それでは最後までご覧いただきありがとうございました。
みんなの努力が報われますように！
