2次関数の公式と各単元を徹底解説！高校数学Ⅰ

『2次関数』は数学Ⅰにおける重要な単元の1つです。

共通テストや大学入試でも出題される単元なので、文系理系に関わらず確実に理解しておきましょう！

今回は2次関数に関するこんな悩みを解決していきます。

本記事では「2次関数の公式」や各単元を総復習していきます。

2次関数の公式まとめ

まずは『2次関数』において確実に押さえたい
重要な公式6つをリストアップしました。

2次関数の公式を大急ぎで知りたい方はこちらをご覧ください。

2次関数の基本公式

\(a≠0\)において、下のような式を『2次関数』といいます。

上記の３つはどれも2次関数を表しています。
これらの式は「2次関数の決定」でも使うので、全ての形を覚えておきましょう。

グラフの軸と頂点

2次関数のグラフの形が分かる公式です。

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グラフの平行移動

2次関数を平行移動させる問題はこの公式で解決できます！

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2次関数の決定

2次関数の決定は大きく3つの型に分けられます。

与えられた条件にあわせて、どの型を使うのか判断して2次関数を求めます。

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2次関数の解の公式

2次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)(a≠0)において、解の公式を使うと方程式の解を求めることができます。

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判別式Dを求める公式

判別式Dの符号によって、2次方程式の実数解がいくつあるのかを求めることができます。

上で紹介した公式はどれも2次関数に欠かせない重要な公式です。

そもそも2次関数とは？

2次関数とは最高の次数が2次の関数のことを指します。

1次関数のグラフが直線だったのに対して、2次関数のグラフは放物線という滑らかな曲線を描きます。

2次関数の頂点と軸

2次関数において頂点と軸は重要な単語です。

軸と頂点を読み取る問題だけでなく、自分で平方完成をして軸と頂点を求める問題もあります。

軸と頂点については「2次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を解説！」で詳しく解説しています。

平方完成して頂点と軸を求める

自分で平方完成する場合は以下の手順で進めてください。

2次関数が以下の形になれば軸と頂点が分かります。

\begin{eqnarray}
y=a(x-p)^{2}+q
\end{eqnarray}

2次関数\(x^{2}+6x+5\)を例として、軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
x^{2}+6x+5&=&(x^{2}+6x+9)-9+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray}

与式を\((x+3)^{2}-4\)に変形できたので、グラフの軸と頂点を読み取ることができます。

放物線の軸：\(x=-3\)
頂点の座標：\((-3,-4)\)

このように平方完成を用いて\(a(x−p)^{2}+q\)の形にすることで、グラフの軸と頂点を求めることができます。

軸と頂点について詳しく知りたい方は下の記事をご覧ください。

2次関数のグラフの書き方

2次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。

\(y=x^{2}+6x+5\)を例にしてグラフを書いてみましょう。

step
1グラフの頂点を求める

まずはじめに、グラフの頂点を求めます。

頂点の座標は平方完成すると求めることができます。

\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}

となります。

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は(-3,-4)となります。

step
2y軸との交点を求める

頂点の座標が分かっただけではグラフは書けません。

次はグラフとy軸との交点を求めます。

y軸上の点ということは、x座標が0であるので関数に\(x=0\)を代入します。

\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると

\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。

step
3頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ

最後に頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。

\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。

この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと2次関数のグラフが完成します。

このように以下の3ステップで2次関数のグラフが書けます。

2次関数のグラフの書き方について詳しく解説しました。

＞＞2次関数のグラフの書き方を3ステップで解説！

2次関数の平行移動

グラフの形を変えないまま、平行に移動させることを平行移動といいます。

このときグラフの形は変わりません。ただし、頂点や軸が移動しているので、2次関数の式の形は変わります。

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に\(3\),\(y\)軸方向に\(2\)だけ平行移動させると、

\(y=(x-3)^{2}+2\)となります。

2次関数\(y=x^{2}+6x+4\)を、\(x\)軸方向に\(-2\),\(y\)軸方向に\(3\)だけ平行移動させます。

このとき、\(y=x^{2}+6x+4\)を平行移動させる方法は２つあります。

方法1.そのまま平行移動

\(y=x^{2}+6x+4\)を\(x\)軸方向に\(-2\),\(y\)軸方向に\(3\)だけ平行移動するので、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+2)^{2}+6(x+2)+4+3\\
&=&(x^{2}+4x+4)+6(x+2)+7\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

したがって、求める2次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)だと分かりました。

方法2.平方完成してから平行移動

平方完成してから平行移動する方法も紹介します。

まずは\(y=x^{2}+6x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+4\\
&=&(x+3)^{2}-9+4\\
&=&(x+3)^{2}-5
\end{eqnarray*}

この関数が\(x\)軸方向に\(-2\),\(y\)軸方向に\(3\)だけ平行移動するので

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+3+2)^{2}-5+3\\
&=&(x+5)^{2}-2\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

したがって、求める2次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)となりました。

2次関数の平行移動はスムーズにできるようにしておきましょう。

＞＞2次関数のグラフを平行移動させる公式と証明！

2次関数の最大値・最小値

2次関数では、最大値・最小値を求める問題もよく出題されます。

2次関数の最大値と最小値の問題は大きく4つのタイプがあります。

最大値・最小値の求め方は問題のパターンによって異なります。

ここではざっくりとした解説をします。詳しく知りたい方は「2次関数の最大値・最小値を求める4つのパターン」をご覧ください。

定義域がない場合

定義域（範囲）のない2次関数の最大値・最小値の問題から解説します。

定義域がない場合というのは以下のような問題です。

\(y=x^{2}-4x+3\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、グラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+3\\
&=&(x-2)^{2}-1
\end{eqnarray}

この関数をグラフにすると下図のようになります。

よって、この2次関数は\(x=2\)で最小値-1をとります。

また、グラフは永遠に上方向に伸びていくので最大値はありません。

\(y=-2x^{2}-4x\)の最大値・最小値

関数の式を変形すると

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x\\
&=&-2(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この関数をグラフにすると下図のようになります。

よって、この2次関数は\(x=-1\)で最大値2をとります。

また、グラフは永遠に下方向に伸びていくので最小値はありません。

上の2問のようにグラフに定義域が与えられていないときは、グラフが最大値、最小値を持たない場合もあるので注意して下さい。

定義域がある場合

定義域がある場合は、以下ような問題が出題されます。

\(y=x^{2}-4x+1　(0≦x≦3)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

ここで\(0≦x≦3\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=1\)

また、実践部分で最小なのが\(x=2\)のときの\(y=-3\)です。

\(y=-2x^{2}+4x+3　(-1≦x≦0)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}+4x+3\\
&=&-2(x-1)^{2}+5
\end{eqnarray}

ここで\(-1≦x≦0\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=3\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=-3\)です。

定義域に文字を含む場合

定義域に文字を含むというのは、以下のような問題のことです。

一つ前の定義域がある場合と同じように見えますが、よく見ると範囲に文字が含まれています。

この場合、\(a\)の値によって範囲が変化するため場合分けが必要です。

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-2x+3\\
&=&(x-1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この問題では\(x\)の定義域が\(0≦x≦a\)でした。

ここで\(a\)の値によって、以下の4つの場合分けします。

\(a<1\)のとき

\(a<1\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(a<1\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(a<1\)のときの最大値、最小値は

\(1≦a<2\)のとき

\(1≦a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(1≦a<2\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸が定義域に含まれています。なので頂点が最小値になることが図から分かります。

したがって、\(1≦a<2\)のときの最大値、最小値は

\(a=2\)のとき

\(a=2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(a=2\)のとき、図から分かるように最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=2\)のときの最大値、最小値は

\(2<a\)のとき

\(2<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(2<a\)のとき、定義域の右端が最大値をとるようになります。

したがって、\(2<a\)のときの最大値、最小値は

したがって求める最大値、最小値は

軸に文字を含む場合

最後は軸に文字を含む場合ですが、以下のような問題が出題されます。

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}-4ax\\
&=&2(x^{2}-2ax)\\
&=&2(x-a)^{2}-2a^{2}
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の3問を解いてみましょう。

(1)　\(a<0\)
(2)　\(0≦a≦1\)
(3)　\(1<a\)

\(a<0\)の場合

\(a<0\)のとき、グラフは下図のようになります。

\(a<0\)のとき、\(x=0\)で最小値0をとります。

\(0≦a≦1\)の場合

\(0≦a≦1\)のとき、グラフは下図のようになります。

したがって\(0≦a≦1\)のとき、\(x=a\)で最小値\(-2a^{2}\)をとります。

\(1<a\)の場合

\(1<a\)のとき、グラフは下図のようになります。

\(1<a\)のとき、\(x=1\)で最小値\(2-4a\)をとります。

2次関数の最大値・最小値の問題はかなりの確率で定期テストに出題されます。

もし、最大値・最小値を求めるのが苦手なら以下の記事がおすすめです。

2次関数の決定

2次関数の決定は大きく3つのパターンに分けられます。

問題文で与えられたヒントからどのパターンなのかを考えます。

①頂点と1点の座標が分かっているとき

頂点の座標と他の1点が分かっているときは①のパターンです。

頂点の座標から求める2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-2)^{2}-4\)

この2次関数が点(-1,5)を通るので、x=-1,y=5を代入して

\(5=a(-1-2)^{2}-4\)
\(5=9a-4\)

よって、\(\displaystyle a=1\)

これで求めたい2次関数が\(\displaystyle y=(x-2)^{2}-4\)だと分かりました。

②軸と2点の座標

軸の直線と他の2点の座標が分かっているときも①のパターンです。

軸が\(x=3\)なので、

\(y=a(x-3)^{2}+q\)

この2次関数が
点(-1,4)を通るから、\(4=a(-1-3)^{2}+q\)
点(1,-8)を通るので、\(-8=a(1-3)^{2}+q\)

よって、

\begin{eqnarray}
4&=&16a+q \cdots ①\\
-8&=&4a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

これを連立方程式で解くと　\(a=1,q=-12\)

よって、求めたい2次関数が\(y=(x-3)^{2}-12\)だと分かりました。

③3点の座標

通る点の座標が3つ分かっているときは②のパターンです。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が
点(2,-2)を通るから、\(-2=4a+2b+c \cdots ①\)
点(3,5)を通るので、\(5=9a+3b+c \cdots ②\)
点(-1,1)を通るので、\(1=a-b+c \cdots ③\)

②-①から、\(7=5a+b \cdots ④\)
②-③から、\(4=8a+4b \cdots ⑤\)

④×4-⑤から、\(24=12a\)となり\(a=2\)
④に\(a=2\)を代入すると、\(b=-3\)
①に\(a=2,b=-3\)を代入すると、\(c=-4\)

したがって、求める2次関数は\(y=2x^{2}-3x-4\)だと分かりました。

④x軸との交点と1点の座標

x軸との交点が2点と他の1点の座標が分かっているときは③のパターンです。

x軸と点(1,0),(3,0)で交わるので、2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-1)(x-3)\)

この2次関数が点(-1,8)を通るので、

\(8=a(-1-2)(-1-3)\)
\(8=12a\)
\(\displaystyle a=\frac{2}{3}\)

よって、求めたい2次関数が\(\displaystyle y=\frac{2}{3}(x-1)(x-3)\)だと分かりました。

とても長くなってしまいましたが、2次関数の決定は慣れれば点数が取れる単元です。
得点にできるようにたくさん問題を解いておきましょう！

2次関数の決定が苦手な方は以下の記事もチェック！

2次方程式と解の公式

2次方程式の解の求め方は主に2つあります。

因数分解で解を求める

解の公式を解説する前に因数分解で求める方法を紹介します。

必ず押さえて欲しいので確認しておきましょう。

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=1,4\)

\begin{eqnarray}
2x^{2}-4x-6&=&0\\
2(x^{2}-2x-3)&=&0\\
2(x+1)(x-3)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-1,3\)

解の公式を用いて求める

2次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)の解は以下の計算で求めることができます。

解の公式はかなり便利な公式なので必ず覚えましょう。

解の公式ならキレイに因数分解ができない2次方程式も解を求められます。

\(x^{2}-4x+1=0\)

\(a=1,b=-4,c=1\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
D&=&\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
&=&\frac{-(-4)±\sqrt{(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{4±\sqrt{16-4}}{2}\\
&=&\frac{4±2\sqrt{3}}{2}\\
&=&2±\sqrt{3}
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-2±\sqrt{6}\)となります。

解の公式は必ず押さえておきたい公式です。

2次方程式の判別式D

2次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)において、以下の公式を判別式といいます。

判別式の符号によってさまざまなことが分かるのでそれを解説していきましょう。

方程式の解の個数

判別式Dの符号によって、方程式を満たす実数解の個数が分かります。

例として、1つ問題を解いてみましょう。

\(a=1,b=3,c=-5\)として判別式Dに代入します。

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&3^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-5)\\
&=&9+20\\
&=&29
\end{eqnarray}

D>0なので、異なる2つの実数解をもつ。

x軸との共有点の個数

判別式Dの符号によって、2次関数とx軸との共有点の個数も分かります。

これも例題で慣れていきましょう。

(1)　2次方程式\(x^{2}+3x+2=0\)の判別式をDとすると

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&3^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2\\
&=&9-8\\
&=&1
\end{eqnarray}

D>0より、グラフとx軸の共有点の個数は2個である。

(2)　2次方程式\(2x^{2}-3x+2=0\)の判別式をDとすると

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&(-3)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2\\
&=&9-16\\
&=&-7
\end{eqnarray}

D<0より、グラフはx軸の共有点をもたない。

このように共有点を持たない場合もあるから注意が必要です。

判別式Dと解の個数については別の記事でも詳しく解説しています。

2次関数《練習問題》

2次関数の練習問題をいくつか用意しました。

解答は《ここをクリック》を押すと解答タブが開きます。

2次関数　まとめ

今回は2次関数を総復習できるように網羅的にまとめました。

2次関数は問題のバリエーションが豊富なので、苦手意識を持っている人も多いです。

しかし問題の意図を正しく捉えられれば、ここで紹介した公式だけでほとんどの問題を解くことができます。

2次関数以外の単元についてもまとめ記事を出しています。

教科書に内容に沿った解説記事を挙げているので、定期試験前に確認してください。

それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！