2次関数の最大値・最小値の求め方！範囲の場合分けで考える方法

数学Ⅰ二次関数の中でも「二次関数の最大値・最小値」を求める問題は難しいですよね。

今回は2次関数の中でも「最大値・最小値」に関する悩みを解決します。

「最大値・最小値を求める問題は難しい…」

そんな風に感じている方も多いと思います。

しかし安心してください！

実は、最大値・最小値の問題は大きく4つのパターンしかありません。

本記事では、2次関数の最大値・最小値の解き方をタイプ別に解説します。

自分の苦手な問題タイプの問題を探して、ぜひ解き方を学んでいってください。

《復習》2次関数のグラフの書き方

2次関数のグラフは以下の手順で書くことができます。

2次関数のグラフの書き方を詳しく知りたい方はこちらの記事からご覧ください。
⇒2次関数のグラフの書き方を3ステップで解説！

2次関数の最大値・最小値

2次関数の最大値と最小値の求め方を解説します。

最大値と最小値の問題は大きく分けて4つのタイプがあります。

それぞれのパターンで最大値・最小値の求め方が異なるので、1つずつ読んでみてください。

範囲がない場合

まずは範囲(定義域)のない2次関数の最大値・最小値から解説します。

範囲がない場合というのは以下のような問題です。

\(y=x^{2}-4x+3\)の最大値・最小値

まずは平方完成をしてグラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+3\\
&=&(x-2)^{2}-1
\end{eqnarray}

この関数はグラフにすると下図のようになります。

よって、\(y\)は\(x=2\)で最小値-1をとります。

このグラフはずっと上方向に伸びてしまうので最大値はありません。

このように定義域も文字も含まないパターンは、2次関数のグラフが書ければ簡単に最大値・最小値が求められます。

\(y=-2x^{2}-4x\)の最大値・最小値

問題2も考えていきましょう。

関数の式を変形すると

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x\\
&=&-2(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この関数はグラフにすると下図のようになります。

よって、\(y\)は\(x=-1\)で最大値2をとり、グラフは永遠に下方向に伸びていくので最小値はありません。

以上の2問のように定義域がない場合は、“グラフが最大値・最小値を持たない”こともあるので注意して下さい。

範囲がある場合

次は定義域が与えられている場合を考えてみましょう。

では、この2問を解説します。

\(y=x^{2}-4x+1　(0≦x≦3)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

ここで\(0≦x≦3\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=1\)

また、実践部分で最小なのが\(x=2\)のときの\(y=-3\)です。

したがって、

\(y=-2x^{2}+4x+3　(-1≦x≦0)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}+4x+3\\
&=&-2(x-1)^{2}+5
\end{eqnarray}

ここで\(-1≦x≦0\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=3\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=-3\)です。

したがって、

定義域が定まっている場合も、2次関数のグラフを書くことができれば簡単に最大値・最小値を求めることができます。

範囲に文字を含む場合

範囲(定義域)に文字を含むというのは、以下のような問題のことです。

見たところ範囲がある場合と同じに見えますが、よく見ると範囲に文字が含まれています。

この場合、\(a\)の値によって範囲が変化するため場合分けが必要です。

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-2x+3\\
&=&(x-1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この問題では\(x\)の定義域が\(0≦x≦a\)でした。

ここで\(a\)の値を以下の4つに場合分けします。

ここからかなり複雑になります。

難しそうに見えますが、落ち着いて読めばきっと理解できるので、ゆっくり読んでみて下さい。

\(a<1\)のとき

\(a<1\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(a<1\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(a<1\)のときの最大値、最小値は

\(1≦a<2\)のとき

\(1≦a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(1≦a<2\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸が定義域に含まれています。なので頂点が最小値になることが図から分かります。

したがって、\(1≦a<2\)のときの最大値、最小値は

\(a=2\)のとき

\(a=2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(a=2\)のとき、図から分かるように最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=2\)のときの最大値、最小値は

\(2<a\)のとき

\(2<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(2<a\)のとき、定義域の右端が最大値をとるようになります。

したがって、\(2<a\)のときの最大値、最小値は

したがって求める最大値、最小値は

この問題のポイントは、\(a\)の値によって最大値・最小値が変わってしまうことです。

文字では分かりづらい方もいると思うので、分かりやすい動画も貼っておきます。

軸に文字を含む場合

最後は軸に文字を含む場合ですが、以下のような問題が出題されます。

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}-4ax\\
&=&2(x^{2}-2ax)\\
&=&2(x-a)^{2}-2a^{2}
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の3問を解いてみましょう。

(1)　\(a<0\)
(2)　\(0≦a≦1\)
(3)　\(1<a\)

\(a<0\)の場合

\(a<0\)のとき、グラフは下図のようになります。

\(a<0\)のとき、\(x=0\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=0\)のとき、最小値0

\(0≦a≦1\)の場合

\(0≦a≦1\)のとき、グラフは下図のようになります。

\(0≦a≦1\)のとき、\(x=a\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=a\)のとき、最小値\(-2a^{2}\)

\(1<a\)の場合

\(1<a\)のとき、グラフは下図のようになります。

\(1<a\)のとき、\(x=1\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=1\)のとき、最小値\(2-4a\)

このパターンもかなり複雑だったので、分かりやすい解説動画もつけておきます。

２次関数の最大・最小④　・　動く軸編

最大値・最小値《練習問題》

2次関数の最大値・最小値の求め方を4つのタイプに分けて解説しました。

4つのパターンを理解したところで、実際に最大値・最小値を求める練習をしてみましょう。

練習問題1

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+2x+3\\
&=&(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

ここで\(-2≦x≦2\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=2\)のときの\(y=11\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=2\)です。

したがって、求める最大値、最小値は

練習問題2

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の4つの場合分けします。

\(0<a<2\)のとき

\(0<a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(0<a<2\)のとき、\(y=(x-2)^{2}-3\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(0<a<2\)のときの最大値、最小値は

\(2≦a<4\)のとき

\(2≦a<4\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(2≦a<4\)のとき、最小値は頂点になることが図から分かります。

したがって、\(2≦a<4\)のときの最大値、最小値は

\(a=4\)のとき

\(a=4\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(a=4\)のとき、最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=4\)のときの最大値、最小値は

\(4<a\)のとき

\(4<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

\(4<a\)のとき、最大値は右端の点になります。

したがって、\(4<a\)のときの最大値、最小値は

よって、\((0≦x≦a)\)における\(y=x^{2}-4x+1\)の最大値、最小値は

2次関数のおすすめ勉強法

2次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

問題の意図をしっかり理解できれば、解法も思いつけるようになります。

次は2次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

2次関数の基本は「2次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

問題集で応用力を磨く

2次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

⇒参考書が読み放題！Kindle Unlimitedについて詳しく知りたい

分かりやすい解説を見る

以下のような悩みがあるなら映像授業もおすすめです。

映像授業なら自分に必要な授業のみを受けられるうえに、分かるまで繰り返し視聴することができます。

分からないを1つずつ解消していけるので、定期テストで高得点を取りたい方は授業授業がおすすめです。

2次関数の最大値・最小値　まとめ

今回は2次関数の最大値・最小値の求め方をまとめました。

最大値・最小値　まとめ

最大値・最小値はまずグラフを書くと解きやすくなる。

範囲や軸に文字を含む場合は場合分けが必要。

関数をみて最大値・最小値を判断するのは難しいです。
実際にグラフを書いてみると最大値・最小値がイメージがしやすくなります。

グラフの平行移動や2次関数の決定は以下の記事で解説しています。

2次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！