チェバの定理の䜿い方や蚌明を解説簡単に蟺の長さが求められる

チェバの定理の䜿い方や蚌明を解説簡単に蟺の長さが求められる

今回解決する悩み

「チェバの定理っおどんな公匏」
「チェバの定理の䜿い方が知りたい」

今回は数孊1Aの図圢の性質から「チェバの定理」に関するこんな悩みを解決したす。

高校生

図圢の問題はどうしおも苊手で 

チェバの定理の公匏

チェバの定理

△ABCの内郚に点Oがある。
頂点A,B,Cず点Oを結ぶ盎線が、向かい合う蟺ずそれぞれ点P,Q,Rで亀わるずき

\[\displaystyle \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB}=1\]

チェバの定理は各蟺の比を甚いお、䞉角圢の蟺の長さを求める公匏です。

本蚘事ではチェバの定理の䜿い方や蚌明方法、芚え方などに぀いお解説しおいきたす。

たた、チェバの定理ずセットで習う「メネラりスの定理」に぀いおも説明しおいるので、合わせお参考にしおいただければず思いたす

※本ペヌゞは孊習アプリのプロモヌションが含たれおいたす。

シヌタ

入塟を怜蚎しおいる方は
ぜひ最埌たでご芧ください。

それではチェバの定理に぀いお解説しおいきたしょう。

▲スマホから数孊の質問ができる
孊習アプリ『Rakumon』

アプリをダりンロヌドする

24時間い぀でもチャットで解決

目次

チェバの定理ずは

チェバの定理は蟺の比や長さを求める時に䜿う定理です。

チェバの定理

チェバの定理の公匏

△ABCの内郚に点Oがある。
頂点A,B,Cず点Oを結ぶ盎線が、向かい合う蟺ずそれぞれ点P,Q,Rで亀わるずき

\[\displaystyle \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB}=1\]

䞊蚘の公匏にしたがっお、各蟺の倀を匏に代入しお積を求めるず1になるずいう定理ですね。

チェバの定理の蚌明方法

ここからはチェバの定理の蚌明方法に぀いお説明しおいきたす。

たず、△ABCにおいお△OABず△OACに泚目しお考えたす。

チェバの定理の蚌明

するず、このずき次の等匏が成り立ちたす。

\[\displaystyle \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OCA}}=\frac{BP}{PC}\]

たずは、これを蚌明しおいきたす。

【蚌明】
点B,Cから垂盎に䞋した点をそれぞれH,Kずするず、\(BH // CK\)―①

次に䞉角圢の面積を考えるず、

\(\displaystyle \triangle{OAB}=AO \times BH \times \frac{1}{2}\)―②
\(\displaystyle \triangle{OAC}=AO \times CK \times \frac{1}{2}\)―③

②,③でAOず\(\frac{1}{2}\)を消去するず、

\[\triangle{OAB}\triangle{OAC}BHCK―④\]

④より、

\[BH:CK=BP:PC\]

④,⑀より、\(\triangle\ OAB\triangle OACBP:PC\)

これで、

\[\displaystyle \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OCA}}=\frac{BP}{PC}\]

が蚌明されたした。

これず同じように考えるず、

\(\displaystyle \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OCA}}=\frac{CQ}{QA}\)―⑩

\(\displaystyle \frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}=\frac{AR}{RB}\)―⑧

ずなりたす。

⑥,⑩,⑧より、

\begin{eqnarray}
&&\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB}\\
&=&\frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OCA}} \cdot \frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}} \cdot \frac{\triangle{OCA}}{\triangle{ABC}}\\
&=&1
\end{eqnarray}

ずなり、チェバの定理が蚌明されたした。

チェバの定理の芚え方

ここたで、チェバの定理の蚌明方法を説明しおきたした。
ここからは、「チェバの定理、芚えられない」ずいう人に向けお芚え方をご玹介しおいきたす。

チェバの定理を芚えるうえでのポむントは、図のように「䞉角圢の1぀の頂点から、1呚するようにアルファベットをたどっおいく」こずです。
䞋の図で説明するず、点からスタヌトしお点に戻るようにしお1呚したす。

チェバの定理の芚え方①

チェバの定理の芚え方②

※このずきたどっおいく向きは時蚈回りでも、反時蚈回りでもどちらでも倧䞈倫です。

チェバの定理はアルファベットの順番がずおも倧事です。
そのため、順番を間違えるず答えが合わなくなっおしたいたす。
䞋図の→の順番で匏を立おおいくず、間違えにくいのではないかず思いたす。

▲スマホから数孊の質問ができる
孊習アプリ『Rakumon』

アプリをダりンロヌドする

24時間い぀でもチャットで解決

チェバの定理の䜿い方

チェバの定理ですが、実際どんなずきに䜿うのか分からない人もいたすよね。

ここからは、い぀チェバの定理を䜿えば良いのか、解説しおいきたす。
たず、早速ですがチェバの定理は「䞉角圢の3぀の頂点から察蟺に向かっお匕いた3本の線が点で亀わるずき」に䜿いたす。

チェバの定理の公匏

このずき、察蟺に向かっお匕いた線は垂線や角の二等分線である必芁はありたせん。

ずにかく3぀の線が1点で亀わっおいるずきにチェバの定理は発動したす。

チェバの定理の緎習問題

ここからは、実際に緎習問題をやっおみたしょう

(1) 次の図においおARの倀を求めなさい。

チェバの定理の緎習問題①

(2) 次の図においおARRBを求めなさい。

チェバの定理の緎習問題②

緎習問題①の解答

チェバの定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{QC}{AQ} \cdot \frac{PB}{CP} \cdot \frac{RA}{BR}&=&1\\
\displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AR}{2}&&1\\
AR&&4
\end{eqnarray}

したがっお、 AR4

☆緎習問題①の解説

チェバの定理の緎習問題①の解説

この問題ではチェバの定理を時蚈回りで考えたしたが、反時蚈回りで考えおも良いです。

ですが、匏を立おた時に、求めるアルファベットは分子にあった方が蚈算しやすいず思いたす。

今回の問題の堎合は反時蚈回りで考えおしたうず、求めるARが分母になっおしたい、蚈算しにくくなりたす。

\[\frac{2}{AR} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{3}1\]

👆時蚈回りで考えるず、ARが分母になっおしたい、蚈算しにくい。

チェバの定理に慣れおきたら、蚈算のしやすさも考えながら、解いおみおください。

緎習問題②の解答

チェバの定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{QC}{AQ} \cdot \frac{PB}{CP} \cdot \frac{RA}{BR}&&1\\
\displaystyle \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{RA}{BR}&&1\\
\displaystyle \frac{RA}{BR}&&3
\end{eqnarray}

したがっお、 ARRB31

☆緎習問題①の解説

この問題はこの図のたただずチェバの定理を䜿うのかわかりにくいず思いたす。

そのため、ここでのポむントはたず、問題の図を次のような図に曞き換えるこずです。

チェバの定理の緎習問題②の解説
チェバの定理の緎習問題②の解説1

泚意ポむント

QRをそれぞれACAB間に入れお考えるこずによっお、チェバ定理を䜿う問題だずいうこずがすぐにわかる図になるず思いたす。
図を曞き換えた時に倀を曞き間違えないように泚意しおください。

▲スマホから数孊の質問ができる
孊習アプリ『Rakumon』

アプリをダりンロヌドする

24時間い぀でもチャットで解決

メネラりスの定理も倧事

チェバの定理ずセットで習う定理にメネラりスの定理がありたす。

メネラりスの定理はチェバの定理ず混同しやすいので、ぜひこの蚘事を読んでマスタヌしおもらえればず思いたす

メネラりスの定理ずは

メネラりスの定理もチェバの定理ず同じく、蟺の比や長さを求める時に䜿う定理です。

メネラりスの定理

メネラりスの定理の図解

△ABCの蟺BC,CA,ABたたはその延長が、䞉角圢の頂点を通らない盎線l、それぞれ点P、Q、Rで亀わるずき、

\[\displaystyle \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB}1\]

参考

メネラりスの定理に぀いおは別の蚘事で解説しおいたす。

≫メネラりスの定理ずは公匏の芚え方ず䜿い方を解説

チェバの定理ずメネラりスの定理の䜿い分け

ここたでチェバの定理ずメネラりスの定理をご玹介しおきたした。

でも実際に問題を解こうずするず「チェバずメネラりス、どっちを䜿えばいいの」ず分からなくなっおしたう人がいるかず思いたす。

2぀の定理の䜿い分けは以䞋の通りです。

チェバメネラりスの䜿い分け

・チェバの定理
⇒䞉角圢の3぀の頂点から察蟺に向かっお匕いた線が点で亀わるずき

・メネラりスの定理
⇒䞉角圢に重なった盎線が䞉角圢の぀の蟺ず亀わるずき

これはどういうこずかを図で瀺したす。

メネラりスの定理の䜿い分け

この図を芋るず、䞉角圢ABCに盎線ℓが重なっお、、Q、RがそれぞれBC、AC、ABで亀わっおいるのがわかるず思いたす。

PはBCの延長線䞊で亀わっおいたす。このような図の時にメネラりスの定理を䜿いたす。

チェバメネラりスの定理の挔習

△ABCに぀いお次の倀を求めなさい。

メネラりスの定理の緎習問題

緎習問題

(1) PBPN
(2) BQQC

解答①

メネラりスの定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{PN}{BP} \cdot \frac{CA}{NC} \cdot \frac{MB}{AM}&&1\\
\displaystyle \frac{PN}{BP} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2}&&1\\
\displaystyle \frac{PN}{BP}&=&\frac{6}{35}
\end{eqnarray}

したがっお、  BPPN356

☆解説1

この問題の難しいずころはチェバの定理ずメネラりスの定理、どちらを䜿うのか刀断しなければならないこずです。
結果から蚀うず(1)はメネラりスの定理を䜿いたす。

たずこの問題は、△ABCではなく、△ABNを䞻圹にしお考えたす。
△ABNに盎線MCが重なっおいるず考えおください。そこだけを曞いた図を茉せおおきたす。

メネラりスの定理の緎習問題の解説

この問題を最初に芋た時「チェバの定理を䜿うのかな」ず思った人もいるのではないかず思いたす。

しかし、チェバの定理では求めたいBPPNが匏に入らないので、今回の問題はメネラりスの定理を䜿いたす。
ポむントは求めたい蟺が入るように定理を䜿うこずです。

解答②

チェバの定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{NC}{AN} \cdot \frac{QB}{CQ} \cdot \frac{MA}{BM}&=&1\\
\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{QB}{CQ} \cdot \frac{2}{5}&=&1\\
\displaystyle \frac{QB}{CQ}&=&\frac{10}{3}
\end{eqnarray}

したがっお、BQQC103

☆解説(2)

この問題は(1)に比べお分かりやすかったず思いたす。
たず、今回䜿うのはチェバの定理です。

今床は△ABCを䞻圹に考えたす。䞋の図のように点Aから時蚈回りにチェバの定理を䜿えば、解ける問題です。

チェバの定理の定理の緎習問題の解説

チェバの定理 たずめ

今回はチェバの定理に぀いおたずめたした。

チェバの定理たずめ
チェバの定理の公匏

チェバの定理

△ABCの内郚に点Oがある。
頂点A,B,Cず点Oを結ぶ盎線が、向かい合う蟺ずそれぞれ点P,Q,Rで亀わるずき

\[\displaystyle \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB}=1\]

チェバの定理の芚え方

「䞉角圢の䞀぀の頂点から、1呚するようにアルファベットをたどっおいく」ずいうこずだけは抌さえおおいおください。

2぀の定理の䜿い分けは以䞋の通りです。

チェバメネラりスの䜿い分け

・チェバの定理
⇒䞉角圢の3぀の頂点から察蟺に向かっお匕いた線が点で亀わるずき

・メネラりスの定理
⇒䞉角圢に重なった盎線が䞉角圢の぀の蟺ず亀わるずき

チェバの定理ずメネラりスの定理はどちらも蟺の比や長さを求める時に䜿うので、䞉角圢の蟺の比や長さを聞かれたら、この2぀の定理を思い出しおください

反埩緎習しおいけば必ず解けるようになるので孊校の問題集でたくさん緎習したしょう。

図圢の性質に぀いおたずめおいるのでぜひご芧ください。

あわせお読みたい
メネラりスの定理ずは公匏の芚え方ず䜿い方を解説 今回は数孊1Aの図圢の性質から「メネラりスの定理」に関するこんな悩みを解決したす。 図圢の問題はどうしおも苊手で  メネラりスの定理は、䞉角圢ず盎線の関係に぀いお...

▲スマホから数孊の質問ができる
孊習アプリ『Rakumon』

アプリをダりンロヌドする

24時間い぀でもチャットで解決

よかったらシェアしおね
  • URLをコピヌしたした
  • URLをコピヌしたした

この蚘事を曞いた人

圓サむトの運営者。
指導歎8幎目の数孊講垫。倧孊1幎生から塟講垫バむトを始め、これたで300名以䞊を指導。オンラむン家庭教垫のご䟝頌・お申し蟌みは、こちらの公匏アカりントから承っおおりたす。詳しいプロフィヌル

コメント

コメントする

目次