実数とは？実数に含まれるもの＆実数でないものを具体例で解説

「どれが実数か分からない」
「実数の具体例を教えて欲しい」

今回は実数に関するこんな悩みを解決します。

数学では、“実数”という言葉がよく出てきますね。

「なにが実数に含まれるんだっけ…」

高校生の僕もあまり分かっていませんでした。

結論から言うと、実数とは「有理数と無理数の総称」です。

高校生数学の範囲で言うと、虚数以外はすべて実数です。

とても簡潔に結論だけを述べましたが、まだ完全な理解には至っていない方も多いでしょう。

本記事では実数の定義や具体例について解説しています。

実数でないものの例も紹介しているのでぜひ参考にしてください。

実数とは”有理数”と”無理数”の総称

まず、実数とは「有理数と無理数の総称」を表します。

高校数学で習う範囲で言うと、虚数以外の数はすべて実数に含まれます。

なので、分数やルート、πなども実数に含まれます。

[st-mybox title=”実数の例” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333…&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525…&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356…\\
\pi =3.14159265…
\end{eqnarray}

[/st-mybox]

有理数と無理数の違い

実数は「有理数と無理数の総称」です。

ここで、「そもそも”有理数”と”無理数”って何？」という方もいますよね。

実数をバッチリと理解するために、有理数と無理数についても確認しましょう。

有理数とは？

有理数とは「分数の形で表せる数」を指します。

例としては以下のようなものがあります。

整数ならばどんな数でも分数にすることが可能ですね。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\[\displaystyle 3=\frac{3}{1},-2=-\frac{2}{1}\]

[/st-mybox]

次に、0,5や0,125のような有限な小数を有限小数といいます。

有限小数は\(10^{n}\)を分母にすることで、分数で表すことができます。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

有限小数\(\displaystyle =\frac{整数}{10^{n}}\)

\[\displaystyle 0.05=\frac{5}{100}\]

\[\displaystyle 0.1234=\frac{1234}{10000}\]

[/st-mybox]

無限小数のなかでも、同じ数字を繰り返すものを循環小数といいました。

循環小数を分数に直すには、ひと手間加えます。

循環小数\(0.3333\cdots\)を例にすると、

したがって、

\begin{eqnarray}
9x=3\\
\displaystyle x=\frac{1}{3}
\end{eqnarray}

循環小数を分数に直す方法は「循環小数の例と分数に直す方法」にて詳しく解説しています。

無理数とは？

一方で、「分数で表せない数」を無理数といいます。

無理数だと判断するのは簡単で、ルートや\(\pi\)などの循環しない小数が無理数です。

[st-mybox title=”無理数とは？” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

無理数⇒循環しない小数

\(\sqrt{2},-\sqrt{5},\pi\)など

[/st-mybox]

実数の例

有理数と無理数について解説しましたが、改めて実数の具体例を確認しましょう。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333…&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525…&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356…\\
\pi =3.14159265…
\end{eqnarray}

[/st-mybox]

実数でないものの例

実数の具体例を確認しましたが、逆に実数でないものの例も確認しましょう。

実数でない数には、虚数や四次元数などが含まれます。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

・虚数
\[2−5i,5+7i\]

・四次元数
\[a+bi+cj+dk\]

[/st-mybox]

虚数とは複素数を表す数で、\(i^{2}=−1\)を満たす\(i\)を持つ数です。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

複素数の例：\(2−5i,5+7i\)

[/st-mybox]

四次元数とは複素数をさらに拡張したものです。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

四次元数の一般項：\(a+bi+cj+dk\)（\(a,b,c,d\)は実数）

[/st-mybox]

実数　まとめ

今回は実数の定義と具体例についてまとめました。

[st-marumozi fontawesome=”” bgcolor=”#FFB74D” bordercolor=”” color=”#fff” radius=”30″ margin=”0 10px 10px 0″ myclass=””]実数　まとめ[/st-marumozi]

実数：有理数と無理数の総称

有理数：分数で表せる数
無理数：分数で表せない数

[st-mybox title=”実数の例” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333…&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525…&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356…\\
\pi =3.14159265…
\end{eqnarray}

[/st-mybox]

実数はこれからもずっと使う言葉なので、必ず覚えておきましょう。

命題と条件について別の記事で解説しています。

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それでは最後まで読んでくださりありがとうございました。

あなたの努力が報われますように！

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