底の変換公式について解説！証明と底を決めるコツが分かる！

今回は底の変換に関する悩みを解決します。

「底の変換公式を忘れてしまった」
「底の変換を使った計算が苦手」

対数は底の値が同じでないと計算することができません。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\[log_{2}3 + log_{4}3\]

\[log_{2}3 \cdot log_{3}8\]

[/st-mybox]

そこで対数の底を都合のよい値に変換できるのが「底の変換公式」です。

[st-mybox title=”底の変換公式” fontawesome=”fa-exclamation-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\(a,b,c>0、a,c≠1\)のとき

\[\displaystyle log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\]

[/st-mybox]

この公式を知らないと解けない問題が結構あります。

もし底の変換公式に慣れていないならば、いますぐ習得することをおすすめします。

本記事では底の変換公式について証明や使い方を解説しました。

様々なパターンの問題を用意したので、この記事を読んで底の変換公式に慣れましょう。

底の変換公式

底の変換公式は対数logの重要な公式の1つです。

[st-mybox title=”底の変換公式” fontawesome=”fa-exclamation-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\(a,b,c>0、a,c≠1\)のとき

\[\displaystyle log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\]

[/st-mybox]

以下のような対数の計算があったとしましょう。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の計算を求めよう。

\[\displaystyle log_{2}3 \cdot log_{3}4\]

[/st-mybox]

これらは対数の底が異なるので、このままでは積を求めることができません。

そこで底の変換公式の出番です。

\[\displaystyle log_{3}4=\frac{log_{2}4}{log_{2}3}=\frac{2}{log_{2}3}\]

底の変換公式を使えば、底を計算の都合がよい値に変換することができるのです。

この問題では、対数の底を2に変換して積を求めましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle log_{2}3 \cdot log_{3}4&=&log_{2}3 \cdot \frac{2}{log_{2}3}\\
&=&2
\end{eqnarray}

このように底の変換公式を用いることで、対数の計算がスムーズにできるようになります。

非常に重要な公式なので必ず覚えておきましょう。

底の変換公式の証明

底の変換公式が成り立つことの証明をします。

なぜ底を変換できるのか、その仕組みを理解しておくことで応用もできます。

\(a\)を底とする対数\(log_{a}b\)を、\(c\)を底とする対数で表します。

\(log_{a}b=p\)とすると、　\(b=a^{p}\)

ここで\(c\)を底とする対数をとると、

\[log_{c}b=plog_{c}a\]

\(a≠1\)より、\(log_{c}a≠0\)なので

\[\displaystyle p=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\]

したがって、底の変換公式を示すことができました。

ポイントは対数で表していた\(log_{a}b=p\)を、\(b=a^{p}\)に変形するところです。

対数表記から指数表記へとスムーズに変えられるように慣れておきましょう。

底を変換するときのコツ

「変換公式は知っているけれど、底を何に変換すれば良いのか分からない。」

きっと、こんな方も多いですよね。

底を変換するときのコツは「底を同じにする」ことです。

底が同じであれば対数でも計算できるので、底が同じになるように変換公式を使いましょう。

このとき、底を何にしないと解けないなんてことはありません。

ただ、底は問題のなかの対数にそろえると、計算がスムーズになる場合が多いです。

底の変換公式を使った問題

底の変換公式を使った問題を3つ解説します。

[st-mybox title=”底の変換公式を使った問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#FFD54F” bordercolor=”#FFD54F” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

1. 対数の積を求める問題
2. 真数にルートを含む問題
3. 分母・分子の底が異なる問題

[/st-mybox]

対数のよくある問題を選んだので、それぞれの解き方を覚えておきましょう。

対数の積を求める問題

[st-mybox title=”対数の積” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の式を簡単にしよう。

\[log_{2}3 \cdot log_{3}8\]

[/st-mybox]

このままでは見た目が悪いので、底の変換公式を用いて簡単な式にします。

\begin{eqnarray}
\displaystyle log_{2}3 \cdot log_{3}8&=&log_{2}3 \times \frac{log_{2}8}{log_{2}3}\\
&=&log_{2}8\\
&=&log_{2}2^{3}\\
&=&3
\end{eqnarray}

これで簡単に表すことができました。

変換するときのポイントは「底を同じにする」ことです。

この問題には\(log_{2}3\)と\(log_{3}8\)があり、底を2か3のどちらに合わせるか迷いますね。

\(log_{3}8\)を\(log_{2}8\)にできると計算が楽そうなので、今回は底が2になるようにしました。

真数にルートを含む問題

以下のように真数にルートを含む問題もあります。

[st-mybox title=”ルートを含む問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の式を簡単にしよう。

\[log_{9}\sqrt{27}\]

[/st-mybox]

ルートがあると拒絶反応が出てしまう人もいますよね。

まずは以下の公式を確実に覚えておきましょう。

[st-mybox title=”指数法則ルート” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#FFD54F” bordercolor=”#FFD54F” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\[\displaystyle \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\]

[/st-mybox]

すると、与えられた式は

\[log_{9}\sqrt{27}=log_{9}27^{\frac{1}{2}}\]

となります。

ここからは底の変換公式を使って、式を簡単にしていきましょう。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\begin{eqnarray}
\displaystyle log_{9}\sqrt{27}&=&log_{9}27^{\frac{1}{2}}\\
&=&\frac{1}{2}log_{9}27\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2} \cdot \frac{log_{3}27}{log_{3}9}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray}

[/st-mybox]

底を3に変換することでかなり計算がしやすくなりました。

[st-mybox title=”参考” fontawesome=”fa-file-text-o” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#fafafa” borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

指数法則を使うと対数の計算がしやすくなります。

>>指数法則の重要な公式8選！

[/st-mybox]

分母と分子の底が異なる問題

[st-mybox title=”分数の問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の式を簡単にしよう。

\[\displaystyle \frac{log_{2}5}{log_{3}5}\]

[/st-mybox]

これは分母・分子の底が異なるので、このままでは何もできそうにありません、

そこで底の変換公式を用いて、分母・分子の底を同じにします。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{log_{2}5}{log_{3}5}&=&log_{2}5 \cdot \frac{1}{log_{3}5}\\
\displaystyle &=&log_{2}5 \cdot \frac{1}{\frac{log_{2}5}{log_{2}3}}\\
\displaystyle &=&log_{2}5 \cdot \frac{log_{2}3}{log_{2}5}\\
\displaystyle &=&log_{2}3\\
\end{eqnarray}

分母・分子が対数のときは、底の変換公式を使って簡単にするようにしましょう。

[st-wide-background myclass=”” backgroud_image=”” bgcolor=”#fafafa” align=”” add_style=”margin-bottom:0px; border-top:2px #ccc solid; border-bottom:2px #ccc solid;”]

基礎から丁寧に確認！
プロ講師の分かりやすい解説

[/st-wide-background]

[st-wide-background myclass=”” backgroud_image=”” bgcolor=”#ffffff” align=”” add_style=””]

ここまで読んで、まだピンと来ていない人いますか？

もしかすると、あなたには文章よりも動画解説のほうが合っているかもしれません。

河合塾が提供する「河合塾One」なら解説が丁寧で、基礎から確認できるのでおすすめです。

しかも、いまなら無料体験で全授業が視聴できます。

[/st-wide-background]

底の変換公式《練習問題》

[st-wide-background myclass=”” backgroud_image=”” bgcolor=”#fafafa” align=”” add_style=”margin-top:0px; margin-bottom:0px;”]

底の変換公式を使って練習問題に挑戦してみましょう。

以下が今回の練習問題です。

[st-mybox title=”練習問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の計算をしてみよう。

(1)\(log_{2}3 \cdot log_{3}4 \cdot log_{4}5\)

(2)\(log_{4}\sqrt{8}\)

(3)\(\displaystyle \frac{3}{log_{9}3}\)

[/st-mybox]

[/st-wide-background]

練習問題1の解説

それでは練習問題の解説をしていきましょう。

[st-mybox title=”練習問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の計算をしてみよう。

(1)\(log_{2}3 \cdot log_{3}4 \cdot log_{4}5\)

[/st-mybox]

これは底の変換公式を活用する典型的な問題です。

\begin{eqnarray}
&&log_{2}3 \cdot log_{3}4 \cdot log_{4}5\\
&=&log_{2}3 \cdot \dfrac{log_{2}4}{log_{2}3} \cdot \dfrac{log_{2}5}{log_{2}4}\\
&=&log_{2}5
\end{eqnarray}

このタイプの問題はすぐに手が動かせるようにしておきましょう。

練習問題2の解説

[st-mybox title=”練習問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の式を簡単にしよう。

(2)\(log_{4}\sqrt{8}\)

[/st-mybox]

真数にルートがあるタイプの問題です。

\begin{eqnarray}
log_{4}\sqrt{8}&=&log_{4}8^{\frac{1}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}log_{4}8
\end{eqnarray}

ルートがいなくなったところで、さらに式を簡単にしていきます

\begin{eqnarray}
&=&\frac{1}{2}log_{4}8\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}log_{4}2^{3}\\
\displaystyle &=&\frac{3}{2}log_{4}2
\end{eqnarray}

これで完成に見えますが、実はもっと簡単にできます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle &=&\frac{3}{2}log_{4}2\\
\displaystyle &=&\frac{3}{2} \cdot \frac{log_{2}2}{log_{2}4}\\
\displaystyle &=&\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray}

練習問題3の解説

最後は対数を含む分数の問題です。

[st-mybox title=”練習問題” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

次の計算をしてみよう。

(3)\(\displaystyle \frac{3}{log_{9}3}\)

[/st-mybox]

分母を底を3とする対数に変換します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{3}{log_{9}3}&=&\frac{3}{\frac{log_{3}3}{log_{3}9}}\\
\displaystyle &=&3 \cdot \frac{2}{1}\\
&=&6
\end{eqnarray}

\(\log_{9}3\)や\(log_{4}2\)のような、底が真数の累乗になっているとき

\[\displaystyle log_{9}3=\frac{1}{2}\]

\[\displaystyle log_{4}2=\frac{1}{2}\]

このように簡単な形で表すことができます。

底の変換公式　まとめ

今回は対数logにおける底の変換公式についてまとめました。

[st-marumozi fontawesome=”” bgcolor=”#FFB74D” bordercolor=”” color=”#fff” radius=”30″ margin=”0 10px 0 0″ myclass=””]底の変換公式　まとめ[/st-marumozi]

[st-mybox title=”底の変換公式” fontawesome=”fa-exclamation-circle” color=”#03A9F4″ bordercolor=”#B3E5FC” bgcolor=”” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\(a,b,c>0、a,c≠1\)のとき

\[\displaystyle log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\]

[/st-mybox]

底を変換するときのコツは「底を同じにすること」です。

どう変換していいのか分からないときは、対数の底が同じになるようにしてみましょう。

今回は対数の底の変換公式について解説しましたが、対数には覚えておきたい公式がいくつかあります。

対数の計算公式についてはこちらの記事でまとめています。

>>対数とは？logの意味と必ず覚えておきたい公式を解説！

定期テストに向けて指数・対数の復習をするならこちらの記事がおすすめです。

>>指数関数・対数関数logの公式や性質を徹底解説！

[st-mybutton class=”” url=”https://math-travel.jp/shisuu-log/” title=”指数関数・対数関数のまとめ記事へ” rel=”” fontawesome=”” target=”” color=”#9CCC65″ bgcolor=”” bgcolor_top=”” bordercolor=”#9CCC65″ borderwidth=”3″ borderradius=”30″ fontsize=”” fontweight=”bold” width=”” fontawesome_after=”fa-chevron-right” shadow=”” ref=”” beacon=””]