命題とは？命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係

今回は命題と条件に関する悩みを解決していきます。

ここが曖昧な生徒が多いので、一緒にしっかりと理解をしておきましょう！

きっと感じているほど難しくないので、理解しておかないともったいない

今回は命題の意味に加え、「否定」「逆・裏・対偶」の意味も紹介します。

命題とは？

命題とは「正しいか正しくないかが定まる文章または式」です。

命題は正しいか正しくないかが明確に判断できます。

命題でない文章は正しいか判断をすることができません。

命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。

命題が正しくないとき、その命題は偽であるといいます。

仮定と結論

命題の「～ならば」を仮定、「～である」を結論といいます。

例えば、実数についての命題「3より大きいならば、1より大きい」は真の命題です。

「3より大きいならば」が仮定で、「1より大きい」が結論です。

ここで仮定と結論を実数\(x\)に関する2つの条件に置き換えると

仮定　\(p:x>3\)
結論　\(q:x>1\)

これらを用いて「pならばq」と表現することができます。

このような命題を　\(p \Rightarrow q\)と書きます。

否定とは

否定とは「条件の文章や式を打ち消すもの」です。

言葉にすると分かりづらいですが、名前の通り否定するだけです。

条件：「xは有理数である」
否定：「xは有理数ではない」すなわち「xは無理数である」

条件：「\(x>0\)」
否定：「\(x>0\)でない」すなわち「\(x \leq 0\)」

条件\(p\)の否定は条件\(\overline{p}\)と書きます。

逆・裏・対偶の関係

命題には「逆」「裏」「対偶」の３つの関係があります。

命題\(p \Rightarrow q\)に対して、

• 逆：\(q \Rightarrow p\)
• 裏：\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
• 対偶：\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」のとき、逆・裏・対偶は以下のようになります。

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」は真の命題ですが、逆と裏は偽です。

命題の真偽が「逆」と「裏」の真偽と一致するとは限らないので確認が必要です。

ここで覚えておいてほしいのが、「対偶の真偽は命題の真偽と一致する」ことです。

対偶「nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない」は真の命題です。

与えられた命題の真偽を証明するとき、対偶の真偽を確かめる方法で証明することもできます。

命題　まとめ

今回は数と式から命題と条件についてまとめました。

他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。

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最後まで読んでくださりありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！