数と式まとめ【完全攻略】

2026年1月21日

[mathjax]

「数と式の単元が苦手」
「数と式の復習がしたい」
今回は数と式のこんな悩みを全部解決します。

高校生

式の展開とかが苦手で…

数学Ⅰ「数と式」の基礎が詰まった「完全攻略」記事を書きました。

「数と式」で学習する内容はこれから習う高校数学の基礎となるものです。

さっそくに高校数学に苦手意識を持っている方も多いと思いますが、じっくり向き合って苦手を解消させておきましょう。

本記事では、数学ⅠAの数と式について徹底解説します。

長い記事ですがゆっくり読めば数と式の総復習ができるようになっています。

単項式と多項式

まず単項式と多項式の定義を確認します。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#f3f3f3″ borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

単項式
数や文字およびそれらを掛けただけで表される式
例）5,xy,2a,(-3abc)

多項式
単項式の和として表される式
例）x+y ,2ab-3a+b

[/st-mybox]

つまり、多項式はいくつかの単項式をもっている式です。

また、単項式と多項式はどちらも整式の1つです。

同類項でまとめる

同じ文字をもつ項を同類項と呼びます。

同類項をまとめるとは「整式の同じ文字を持つ項を1つにまとめること」を指します。

指数法則

指数法則を理解していないと、式の展開などで苦戦します。

指数法則には覚えておきたい7つの公式があります。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”” bgcolor=”#FFFDE7″ borderwidth=”0″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=””]\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数の時

\(a^{0}=1\)
\(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
\((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)
\(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
\(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

[/st-mybox]

なぜこのようになるのかは別記事で解説しています。
⇒分数やマイナスにも困らない指数法則の7つの公式

展開の公式

展開の公式は完璧に覚える必要はありません。しかし、自力で計算できるくらいには理解しておきましょう。

3次式の展開

3次式の展開公式について解説します。

[st-mybox title=”(a±b)^{3}の展開公式” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

[/st-mybox]

上で示したように、3乗の展開は少し複雑です。

(a±b)3乗の展開公式　証明

\((a±b)^{3}\)の展開公式を証明していきましょう。

証明は計算していくだけなのでかなりシンプルです。

[st-mybox title=”” fontawesome=”” color=”#757575″ bordercolor=”#ccc” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”2″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

・\((a+b)^{3}\)の証明

\begin{eqnarray}
(a+b)^{3}&=&(a+b)^{2}(a+b)\\
&=&(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)\\
&=&a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\
\end{eqnarray}

・\((a-b)^{3}\)の証明

\begin{eqnarray}
(a-b)^{3}&=&(a-b)^{2}(a-b)\\
&=&(a^{2}-2ab+b^{2})(a-b)\\
&=&a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\
\end{eqnarray}

[/st-mybox]

上の2つの式は素直に展開していくと展開公式が出てきます。

3次式の因数分解

次は3次式の因数分解について解説します。

公式を見ながら練習していけば段々できるようになります。

3次式の展開公式\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

実数とは

実数とは「有理数」と「無理数」の総称です。

多くの高校生が「有理数」と「無理数」の違いに困ると思います。

有理数というのは、分数で表現できる数を指しています。具体的には、以下のように「整数」「有限小数」「循環小数」が含まれています

一方で、無理数とは\(\sqrt{3}\)や\(\pi\)などの循環しない数のことです。

2重根号の計算

二重根号の外し方を伝授していきます。

外し方法はとっても簡単！

この公式を覚えていれば、問題なしです。

命題と条件

命題とは「正しいか正しくないかが１つに定まる文章または式」を指します。

[st-mybox title=”命題の例” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

\(x=3\)ならば\(2x=6\)である
4は偶数である
ライオンは生き物である

[/st-mybox]

一方で、以下のような文章は命題とは言えません。

[st-mybox title=”命題ではない例” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#757575″ bordercolor=”#BDBDBD” bgcolor=”#ffffff” borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

1000は大きい数である
車は速い
東京はすごい

[/st-mybox]

なぜなら、大きいや速いというのは比べるものによって変わる概念だからです。

このような正しい正しくないが明確に決められない文章や式を命題とは言えません。

必要条件・十分条件

まず、必要条件・十分条件の定義を確認しましょう。

高校生

pとかqで説明されても分からないよ

シータ

そうだよね。
具体的な命題で解説していくよ

真の命題「リンゴならば果物」を例にして考えます。

「リンゴならば果物である」という命題を矢印で表すと「リンゴ⇒果物」です。

[st-mybox title=”ポイント” fontawesome=”fa-check-circle” color=”#FFD54F” bordercolor=”#FFD54F” bgcolor=”#FFFDE7″ borderwidth=”2″ borderradius=”5″ titleweight=”bold” fontsize=”” myclass=”st-mybox-class” margin=”25px 0 25px 0″]

矢印が出ているほうが十分条件
矢印を受けているほうが必要条件

[/st-mybox]

つまり、リンゴ⇒果物において

「リンゴ」は「果物」の十分条件
「果物」は「リンゴ」の必要条件

ここで注意点が1つ
命題が逆になると必要条件・十分条件も逆になります。

つまり、「\(x=1\)」は「\(x+3=4\)」の十分条件でもあり、必要条件でもあります。

このような場合、「\(x=1\)」は「\(x+3=4\)」の必要十分条件といいます。

高校生

矢印が出ている方が十分条件なんだね

命題の必要条件・十分条件について詳しく知りたい方
必要条件・十分条件とは？違いと見分け方を分かりやすく解説！