半角の公式と証明・導き方を解説！もう公式を忘れても大丈夫！

「なんで半角の公式は成り立つの？」
「すぐ忘れるので導き方を知りたい」
今回は半角の公式に関するこんな悩みを解決します。

半角の公式は三角関数の重要な公式の1つです。

半角の公式は、\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}\)のような、\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)の三角比を求める公式です。

本記事では半角の公式の証明や導き方を解説しています。

公式の作り方が分かるようになるので、ぜひ最後までご覧ください。。

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半角の公式　証明

半角の公式は2倍角の公式を活用して証明します。

1つずつ証明していきましょう。

\(\sin\)の半角の公式　証明

まずは\(\sin\)の半角の公式を証明します。

半角の公式の証明には2倍角の公式を使います。

2倍角の公式より、

\[\cos 2\theta=1-2\sin^{2} \theta\]

ここで\(\theta\)を\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)に置き換えると、

\[\displaystyle \cos 2 \cdot \frac{\theta}{2}=1-2\sin^{2} \frac{\theta}{2}\]

よって、

\[\displaystyle \cos \theta=1−2 \sin^{2} \frac{\theta}{2}\]

式を整理することで、

\[\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\]

証明終了。

\(\cos\)の半角の公式　証明

同様に2倍角の公式より

\[\cos 2\theta=2\cos^{2} \theta -1\]

\(\sin\)と同様に\(\theta\)を\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)に置き換えて、

\[\displaystyle \cos 2 \cdot \frac{\theta}{2}=2\cos^{2} \frac{\theta}{2}-1\]

よって、

\[\displaystyle \cos \theta=2 \cos^{2} \frac{\theta}{2}-1\]

式を整理することで、

\[\displaystyle \cos^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\]

証明終了。

\(\tan\)の半角の公式　証明

\(\tan\)の半角の公式は

\[\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\]

を用いると簡単に証明ができます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{\sin^{2} \frac{\theta}{2}}{\cos^{2} \frac{\theta}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\frac{1-\cos \theta}{2}}{\frac{1+\cos \theta}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

これで半角の公式を証明することができました。

ポイントは加法定理からの式変形です。

2倍角の公式についてはこちらの記事で詳しく解説しました。

半角の公式の導き方

「半角の公式は複雑なので、よく忘れてしまいます…」

そんなときに私がやっている半角の公式の導き方を紹介します。

以下の問題を例として導いてみましょう。

\(\displaystyle \frac{\pi}{8}\)なので半角の公式を使いたいですが、公式を忘れてしまったとしましょう。

step
1加法定理を思い出す

まず\(\cos\)の加法定理を書きます。

\[\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\]

今回は\(\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}\)を求めたいので、

\[\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta \cdots ①\]

を導きます。

step
2式変形をする

①を整理すると、

\[2\sin^{2}\theta=1-\cos 2\theta\]

式変形して、

\[\displaystyle \sin^{2} \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2} \cdots ②\]

step
3数字を代入する

②の\(\theta\)に\(\displaystyle \frac{\pi}{8}\)を代入します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\pi}{8}&=&\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle \sin^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\]

この手順なら半角の公式を忘れても、公式を作ることができます。

半角の公式の覚え方が知りたい方はこちら

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半角の公式＜練習問題＞

半角の公式を使って練習問題にチャレンジしてみましょう。

半角の公式を使うために、\(\cos \theta \)から求めましょう。

三角形の相互関係より、

\[\sin^{2}\theta +\cos^{2} \theta=1\]

なので、

\begin{eqnarray}
\cos^{2} \theta&=&1-\sin^{2} \theta\\
\displaystyle &=&1-(\frac{3}{5})^{2}\\
\displaystyle &=&\frac{16}{25}
\end{eqnarray}

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)のとき、\(cos \theta < 0 \)なので、

\[\displaystyle cos \theta =-\frac{4}{5}\]

よって、sin の半角の公式を用いると

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2} &=& \frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{\frac{9}{5}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{9}{10}
\end{eqnarray}

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<{\pi}\)より、\(\displaystyle \frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}\)であるから、

ゆえに、\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}>0\)である。

したがって、

\[\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\]

となります。

半角の公式の証明　まとめ

今回は半角の公式の証明についてまとめました。

半角の公式　証明

半角の公式を忘れたときは以下の手順で導きましょう。

今回は半角の公式の証明を中心に解説してきました。

半角の公式や使い方が知りたい方はこちらの記事がおすすめです。

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