数学Ⅰ図形と計量で欠かせないのが『三角比』ですよね。
「三角比が苦手」
「三角比の総復習がしたい」
今回は三角比に関するこんな悩みを解決します。
高校生三角比が苦手なんです…
今回は三角比の基礎が詰まった「完全攻略」記事を書きました。
長い記事ですがゆっくり読めば三角比の総復習ができるようになっています。
三角比の重要公式一覧
まずは『三角比』において確実に押さえたい
重要な公式5つをリストアップしました。
三角比の公式を大急ぎで知りたい方はこちらをご覧ください。
三角比の基本公式
三角比(\(\sin,\cos,\tan\)）の基本公式で、三角比を学んでいく上では欠かせない公式です。
- \(\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
- \(\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
- \(\tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)
三角比の相互関係
三角比は\(\sin,\cos,\tan\)のいずれかの値が分かっていれば以下の相互関係から他の2つの求めることができます。
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
正弦定理
正弦定理は外接円の半径を求める公式でありながら、各辺の長さや角の大きさを求めるときにも活用します。
△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
余弦定理
余弦定理を用いることで、各辺の長さや角の大きさを求めることができます。
△ABCにおいて、次が成り立つ。
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)
\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)
\(\sin\)を用いた三角形の面積
2つの辺の長さとその間の角の大きさが分かっているとき、以下の公式を用いて三角形の面積を求めることができます。
上で紹介した公式はどれも三角比に欠かせない重要な公式です。
三角比の公式
三角比は\(\sin\)（サイン）や\(\cos\)（コサイン）という記号を使って表現します。
以下の三角比の公式は覚えておかないと、手も足も出ないので必ず覚えてください。
- \(\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
- \(\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
- \(\tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)
三角比の公式を使いこなせるように実際に数字を代入してみましょう。
このように、斜辺の長さ、\(x\)座標、\(y\)座標が分かっていれば三角比を表すことができます。
また、\(90^\circ\)を超える場合も、三角形をイメージすることで三角比を求めることができます。
三角比の相互関係
三角比の相互関係は重要な公式です。
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
三角比の相互関係を用いれば、sin,cos,tanのどれか1つが分かれば、他のすべて求めることができます。
三角比の相互関係は必ず覚えよう！
三角比の拡張
\(\sin(\theta+\pi)\)など三角比の拡張公式をまとめました。
\(-\theta\)の公式
\(-\theta\)の公式は以下のようになります。
- \(\sin (-\theta)=-\sin \theta\)
- \(\cos (-\theta)=\cos \theta\)
- \(\tan (-\theta)=-\tan \theta\)
\(\displaystyle \theta+\frac{\pi}{2}\)の公式
\(\theta\)に対して\(\displaystyle \frac{\pi}{2}=90°\)を加えると、以下のように変換することができます。
- \(\displaystyle \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta\)
- \(\displaystyle \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin \theta \)
- \(\displaystyle \tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta}\)
\(\theta+\pi\)の公式
\(\theta\)に対して\(\pi=180°\)を加えると、以下のように変換することができます。
- \(\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta \)
- \(\cos (\theta+\pi)=-\cos \theta \)
- \(\tan (\theta+\pi)=\tan \theta\)
正弦定理
正弦定理は三角形に使う定理です。
各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。
△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
余弦定理
余弦定理も三角形に辺や角を求める定理です。
各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。
△ABCにおいて、次が成り立つ。
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)
\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)
sinを使った面積公式
三角比を使って三角形の面積を求めることもできるんです。
sin（サイン）を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。
sin（サイン）を用いる三角形の面積公式を解説！
三角比の公式 まとめ
今回は三角比についての完全攻略記事としてまとめました。
三角比に関する記事を網羅的にまとめましたが、詳しいポイントは各単元の記事で解説しています。
そちらもぜひ参考にしてください。
教科書に内容に沿った解説記事を挙げているので、定期試験前に確認してください。
それでは最後までご覧いただきありがとうございました。
みんなの努力が報われますように！