ベクトルの垂直条件と内積の関係を解説！垂直なベクトルの求め方！

\(\vec{a}\bot\vec{b}\)であるということは、2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)がなす角\(\theta\)は\(90^{\circ}\)である。

このとき、\(\cos 90^{\circ}=0\)であるから、内積の定義から

\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&|\vec{a}||\vec{b}|\cos 90^{\circ}\\
&=&|\vec{a}||\vec{b}|\times0\\
&=&0
\end{eqnarray}

次に\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \rightarrow \vec{a}\bot\vec{b}\)を証明します。

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)であるということは、内積の定義より、

\[\vec{a} \cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|cos\theta=0\]

いま、\(\vec{a}\neq0,\ \vec{b}\neq0\)であるから、\(\cos\theta=0\)

よって、\(\theta=90^{\circ}\)となり、2つのベクトル\(\vec{a}、\vec{b}\)が垂直に交わると言える。

以上から、\(\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\rightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)から証明します。

内積の定義より、

\[\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]

よって、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)であるとき、\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)

次に\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\rightarrow\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)を証明します。

こちらも内積の定義より、

\[\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]

今、\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)であるから、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

以上から、\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\Leftrightarrow\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)

\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直であるから、垂直条件より、2つのベクトルの内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)の値は0となる。

内積の定義より、

\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&0\\
2\times5+\left(-1\right)\times k&=&0\\
10-k&=&0\\
k&=&10
\end{eqnarray}

したがって、\(k=10\)

まず、\(\vec{a},\vec{b}\)が互いに垂直であるから、垂直条件よりベクトルの内積\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)は0となる。

2つのベクトルの内積は、

\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b}&=&0\\
k\times k+1\times(k-6)&=&0\\
k^{2}+k-6&=&0\\
(k-2)(k+3)&=&0\\
k&=&2,-3
\end{eqnarray}

よって、\(k=2,-3\)

(ⅰ) k=2のとき

\(\vec{a}=(2,1)\)なので、

\[|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\]

(ⅰ)k=-3のとき

\(\vec{a}=(-3,1)\)なので、

\[|\vec{a}|=\sqrt{{(-3)}^2+1^2}=\sqrt{10}\]

今回の問題の条件から\(|\vec{a}|=\sqrt{10}\)であるから、\(k=-3\)