判別式Dで実数解と共有点の個数を求めよう！練習問題で徹底解説！

数学Ⅰの二次関数において「判別式D」は重要な公式です。

本記事では2次関数に欠かせない判別式Dについて解説します。

高校数学において、判別式Dは非常に重要な公式の1つです。

判別式Dを求める公式は以下の通りです。

判別式Dを利用することで、二次方程式の実数解の個数が分かります。

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本記事では、判別式Dの公式と解の個数との関係について解説します。

判別式Dとは？

まず判別式Dとは以下の公式を指しています。

二次方程式における各項の係数を\(a,b,c\)として、

各値を\(a,b,c\)に代入することで、Dの値を求めます。

この判別式Dの符号によって、二次方程式が実数解をいくつ持つのかを判断することができます。

判別式Dと実数解の個数

判別式Dの符号によって実数解の個数が分かると書きましたが、もう少し深掘りして解説します。

言葉だけではピンとこないと思うので、実際に数字を入れて考えてみましょう。

判別式Dと共有点の個数

判別式Dの符号によって、2次関数とx軸との共有点の個数が分かります。

つまり、判別式Dの符号によって以下の3つのことがいえます。

そもそも\(ax^{2}+bx+c=0\)というのは、
\(y=ax^{2}+bx+c\)とx軸の交点のx座標を求めています。

どういうことかと言うと
2次方程式\(x^{2}-6x+8=0\)を例として

\begin{eqnarray}
x^{2}-6x+8&=&0\\
(x-2)(x-4)&=&0\\
x&=&2,4
\end{eqnarray}

となりますが、

これは2次関数\(y=x^{2}-6x+8\)が\(x=2,4\)でx軸と交わることを表しています。

2次方程式の解が何を表しているのか、しっかり理解している学生は少ないでしょう。

上図のように、2次関数とx軸が2点で交わる状態を「異なる2つの実数解をもつ」といいます。

判別式Dを用いた練習問題

2次関数の分野で判別式Dを使った練習問題に挑戦してみましょう。

2次方程式の実数解の個数

条件を満たす\(m\)の範囲

2次関数とx軸の共有点の個数

判別式Dと解の公式を使い方の違い

判別式Dと解の公式はどちらも2次関数では欠かせない公式です。

しかし、それぞれの使い方は明確に異なります。

「実数解がいくつあるのか」「共有点がいくつあるのか」といった、解の個数が分かれば良い問題に判別式Dを使います。

一方で、解の公式は判別式よりも強力です。

解の公式を使うことで、2次方程式の解まで分かります。

つまり、判別式Dと解の公式を使うときの違いは

なぜ解の個数が分かるの？

そんなギモンの声が聞こえてきそうなので、なぜ判別式Dで実数解の個数が分かるのかを解説します。

まず、判別式Dの公式は以下の数式でしたね。

\(b^{2}-4ac\)ってどこかで見たことがある形をしていませんか？

そうです、判別式Dは解の公式のこの部分と同じ形をしているのです！
つまり、Dの符号によって以下の3パターンに分けて考えることができます。

\(D>0\)のとき

\(D>0\)のとき、解の公式におけるルート部分が正の数になることを表します。

つまり、二次方程式を満たす解が2つあることを指します。

このことから、D>0のとき二次方程式が2つの実数解をもつことが分かります。

\(D=0\)のとき

\(D=0\)のとき、解の公式におけるルートの部分が\(b^{2}-4ac=0\)ですね。

これは二次方程式を満たす解が1つしかないことを指します。

したがって、D=0のとき二次方程式は実数解を1つもつことが分かりました。

\(D<0\)のとき

\(D<0\)のとき、解の公式におけるルート部分の中身がマイナスになってしまいます。

数学Ⅰの段階ではルートの中身が正の数でなければならないため、\(D<0\)のとき\(x\)は実数解を持たないのです。

これは余談ですが、数Ⅱではルートの中が負の数になることがあり、「虚数」と呼ばれる単元に繋がっていきます。

＞＞実数とは？実数に含まれるもの＆実数でないものを具体例で解説

判別式D/4を活用しよう

判別式Dを少し応用したもので、\(\displaystyle \frac{D}{4}\)というものがあります。

\(\displaystyle \frac{D}{4}\)は与えられた二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)の\(b\)が偶数のときにだけ使える公式です。

例として、二次方程式\(x^{2}+6x+3=0\)の解の個数を求めましょう。

\(x\)の係数が\(6\)で偶数なので、判別式\(\displaystyle \frac{D}{4}\)を使うことができます。

\(b’=3\)とすると、

\begin{eqnarray}
\frac{D}{4}&=&b’^{2}-ac\\
&=&3^{2}-1 \cdot 3\\
&=&6
\end{eqnarray}

\(\displaystyle \frac{D}{4}>0\)より、与えられた二次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

なんで判別式はDなの？

ここで少し余談なのですが、「なぜ判別式の記号はDなのでしょうか」。
それにはちゃんとした由来があります。

Dは英語の略称で英単語の「discriminant」（日本語訳：判別、差別、区別）が由来になっています。

何気なく使っている数学の記号にはちゃんと意味があるので、そこを気にしてみても面白いですね！

2次関数のおすすめ勉強法

2次関数は数学Ⅰのなかでも、解きやすい問題が多い単元です。
問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつくようになります。

さて、ここでは2次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

あなたの理解度に合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

マストラでも2次関数の基本については「2次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

問題集で応用力を磨く

2次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

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分かりやすい解説を見る

以下のような悩みがあるなら映像授業もおすすめです。

映像授業なら自分に必要な授業のみを受けられるうえに、分かるまで繰り返し視聴することができます。

分からないを1つずつ解消していけるので、定期テストで高得点を取りたい方は授業授業がおすすめです。

判別式Dの公式　まとめ

今回は二次方程式の判別式についてまとめました。

二次方程式の判別式　まとめ

判別式D

判別式Dとx軸との共有点の個数

判別式Dは重要な公式です。なので、必ず押さえておきましょう！

また、判別式Dの符号によって解の個数が定まる理由も覚えておくことで、より理解が深まります。

\(x\)軸との共有点の個数は、2次関数の頂点の位置からも判断できます。

2次関数の軸と頂点については「2次関数の頂点・軸を求める手順」で解説しています。

教科書に内容に沿った解説記事を挙げているので、定期試験前に確認してください。

それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！