等比数列の公式まとめ：一般項・和の求め方と「公比r」の注意点を解説

数学B数列の中で「等比数列」は必ず押さえておきたい数列です。

今回は等比数列に関する悩みを解決していきます。

等比数列とは「一定の比で変化する数列」を指します。

等比数列は数列のなかでも基本となる数列です。

一般項や和を求める問題が多く出題されるので、しっかり理解していないと数列の単元は苦戦するでしょう。

本記事では等比数列の一般項と和の公式について解説します。

数列が苦手な方や、これから数列を学習する方の参考になるので、ぜひ最後までご覧ください。

等比数列とは？

等比数列とは「一定の比で変化する数列」を指します。

数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。

また、等比数列において隣り合う２つの項の比を公比といいます。

以下のような数列があるとします。

上記の数列は『初項2、末項486、公比3、項数6の等比数列』といいます。

等比数列を一般項で表す

等比数列の一般項の公式

一般項とは、数列の第\(n\)項\(a_{n}\)を\(n\)を用いて表したものです。

等比数列の一般項は以下の式で表します。

等比数列の一般項の証明

等比数列は初項に対して公比を掛けていく数列です。

数列\(a_{1}　a_{2}　a_{3}　a_{4} …　a_{n}\)が等比数列だとします。

この等比数列の公比を\(r\)だとすると、

このように初項に公差を加えていくので、

したがって、等比数列の一般項は\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)となります。

等比数列の一般項を求める

等比数列の一般項を求める例を見てみましょう。

ここに等比数列があります。

2 , 6 , 18 , 54 , 162 …

この数列は「初項2、公比3の等比数列」です。

ここで等比数列の一般項の公式を思い出してみましょう。

この数列は初項2、公比3の数列なので、

\begin{eqnarray}
a_{n}&=&a_{1} \times r^{n-1}\\
&=&2 \times 3^{n-1}\\
&=&2 \cdot 3^{n-1}
\end{eqnarray}

したがって、等比数列｛2 , 6 , 18 , 54 , 162  …｝の一般項は\(a_{n}=2 \cdot 3^{n-1}\)

求めた一般項が不安なときは具体的な数字を代入して確かめます。

初項が2なので、一般項に\(n=1\)を代入して2になれば大丈夫です。

\begin{eqnarray}
a_{1}&=&2 \times 3^{1-1}\\
&=&2 \times 1\\
&=&2
\end{eqnarray}

\(n=1\)のとき初項と同じ値になったので間違いなさそうです。

等比数列の和

等比数列の和の公式

数列の項を足すことを数列の和といいます。

等比数列{3 , 6 , 12 , 24}の初項から第4項までの和は26となります。

3+6+12+24=45

このように等比数列の和を求める問題はよく出題されます。

等比数列の和の公式は公比の値によって変わります。複雑ですが確実に覚えておきたい公式です。

実際に等比数列の和を2つのやり方で求めてみます。

等比数列の和の公式①

このような等比数列があったとしましょう。

この数列は「初項5、公比3、項数6の等比数列」です。

公比が3で1より大きいのでこの公式を使います。

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]

初項5、公比3、項数6の等比数列の和は

\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\
&=&\frac{5(3^{6}-1)}{3-1}\\
&=&\frac{5(729-1)}{2}
&=&1820
\end{eqnarray}

したがって、等比数列の和を求めることができました。

等比数列の和の公式②

公比が1の場合の等比数列の和を求めましょう。

\(r = 1\)の場合は同じ数字が並び続ける数列です。

この数列の和は（初項）×（項数）で求めることができます。

したがって、\(r=1\)のときはこの公式を使いましょう。

\[\displaystyle S_{n}=na\]

今回は初項5、項数6の等比数列なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&5 \times 6\\
&=&30
\end{eqnarray}

等比数列のΣ

そもそもΣ（シグマ）とは

Σ（シグマ）とは数学の記号の1つです。

数列\(a_{n}\)の初項から第\(n\)項まで足すことを記号Σ（シグマ）を用いて、以下のように表します。

\[\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\]

\(\sum_{k=1}^{n}\)の見た目が難しそうなので身構えてしまいますが、シグマの意味は「k=1からnまで代入したものを足す」というだけです。

シグマΣの公式や計算については「Σシグマの計算公式と証明！数列の和が一瞬で解ける！」で解説しています。

等比数列のΣ

以下のようなΣの計算は、等比数列の和として考えることができます。

なぜこのΣの計算が等比数列の和になるのかを解説します。

まず左辺のΣを計算してみると、

\[\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+r^{3}+ \cdots + r^{n}\]

となります。

これは「初項r、公比r、項数nの等比数列の和」と同じ形をしていますね。

そこで右辺は等比数列の和の公式で表すことができるので、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} r^{k}&=&r+r^{2}+r^{3}+ \cdots + r^{n}\\
\displaystyle &=&\frac{r(r^{n}-1)}{r-1}
\end{eqnarray}

これで等比数列のΣを和で表すことができるのです。

等比数列のΣの計算

では、1問だけΣの計算をしてみましょう。

これが意味するのは、\(\{3+9+27+\cdots+729\}\)なので、「初項3、末項729、項数6の等比数列の和」として考えると、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{6} 3^{k}&=&3+9+27+ \cdots + 729\\
\displaystyle &=&\frac{3(3^{6}-1)}{3-1}\\
\displaystyle &=&\frac{3(729-1)}{2}\\
&=&1092
\end{eqnarray}

等比数列の漸化式

等比数列の漸化式は以下のような形で表します。

漸化式とは、数列の第\(n\)項\(a_{n}\)を用いて次の項である\(a_{n+1}\)を表した式です。

等比数列の漸化式は、\(a_{n}\)に公比\(r\)を掛けることで\(a_{n+1}\)になることを表しています。

実際に数字を入れて考えてみましょう。

ここに初項2、公比3の等比数列があります。

このように\(a_{n+1}\)の項を表すときは、\(a_{n}\)を3倍すれば良いので、

\[a_{n+1}=3a_{n}\]

したがって、等比数列の漸化式は以下の形で表される。

等比数列の性質

等比数列の性質の1つに”等比中項”というものがあります。

これは等比数列の項3つ用意したときに、両端の項の積が中央の項の2乗になることを意味します。

証明は非常に簡単です。\(a,b,c\)は等比数列なので

\[\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{c}{b}\]

両辺にabを掛けて、

\[b^{2}=ac\]

となります。

その他の数列

今回は等比数列について解説しています。

数列には等比数列以外にも以下の数列があります。

・等差数列

等差数列とは、「一定の差で変化する数列」を指します。

等差数列については、「等差数列の公式まとめ！一般項と和の公式を分かりやすく解説！」で詳しく解説しています。

・階差数列

階差数列は複雑で、各項の差を書き出してみるとある数列が見えてきます。

上の数列の場合、各項の差が等差数列になっています。

この差が等比数列になる場合もありますし、もっと複雑な数列になるときもあります。

階差数列については、「階差数列を用いた一般項と和を求める公式！初項に階差を足していくだけ」で解説しています。

等比数列《練習問題》

等比数列の一般項や和の求め方を確認しました。

実際に数字を使って、一般項や和を求めてみましょう。

等比数列　まとめ

今回は等比数列について詳しく解説しました。

等比数列とは
⇒一定の比で変化する数列

本記事では等比数列をメインに解説しましたが、等差数列や階差数列も重要な数列です。

この3つの数列は確実に押さえておかないと、漸化式や群数列を学習するときに苦戦するでしょう。